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數學的四個公式
作者:智慧數學研究所 陳士文 點擊數:2598 更新時間:2017年2月20日 文章錄入:智慧數學
   

數學的四個公式

智慧數學研究所    陳士文

數學學習,從小學開始,升入初中,再讀到高中,十二年的學習歷程,遇到的數學公式數以百計。

公式如此之多,而“數學的目的就是用簡單而基本的詞匯盡可能多地解釋世界……如果我們積累起來的經驗要一代一代地傳下去的話,我們就必須不斷地努力把它們加以簡化和統一。”(英國數學家阿蒂亞語)這促使我們一直在思索:

根本性、基礎性的數學公式是什么?

代表性、典型性的數學公式是什么?

影響世界或改變歷史的數學公式是哪些?

記憶深刻或印象美好的數學公式是哪些?

回望歷史,已有先知先覺者的記載:一是英國雜志社發起(具體年份待考)的“最偉大的公式”評選,二是1971年尼加拉瓜發行了一套題為“改變世界面貌的十個數學公式”的郵票。

英國科學期刊《物理世界》曾發起世界“最偉大的公式”投票活動,全球讀者按照典雅性、引申力和影響力的投票要求,選出他們認為最重要、最偉大的公式和定理。[1]

最終榜上有名的十個公式是:

1. 麥克斯韋方程組;

2. 歐拉公式;

3. 牛頓第二定律;

4. 勾股定理(畢達哥拉斯定理);

5. 質能方程;

6. 薛定諤方程;

7. 112

8. 德布羅意方程組;

9. 傅立葉變換;

10. 圓的周長公式。

作為一名小學數學教師,限于知識結構水平及教學工作中能觸及到的學科領域,感覺最為親切、最為熟知的公式也許是下面四個,即:

1. 112

2. 勾股定理(畢達哥拉斯定理)——a2b2c2

3. 圓的周長公式——C2πr

4. 歐拉公式——eiπ10

沒有想到112也是數學公式,而且排名居然位列第七。圓的周長公式其實并不偉大,因為圓周率就是周長與直徑的比值,自然得出C2πr,真正偉大的是圓周率的研究與發現(后文再敘)。勾股定理確實歷史久遠,而且是中外呼應,不約而同地引起數學家們廣泛的興趣。最具魅力的公式是eiπ10,以至于當高斯見到歐拉公式時也驚奇道:“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力,他不可能成為數學家。”

我們不是數學家,只是想從一名小學數學教育工作者的角度來品鑒數學公式,領悟數學,上述四個公式還不完全是此篇文稿所要表述的四個數學公式。

我們再來回望歷史,1971515日,尼加拉瓜發行了一套題為“改變世界面貌的十個數學公式”的郵票,用來表彰對世界發展極有影響的數學公式,它們由一些著名的數學家選出,這十個數學公式分別是:[2]

1. 手指計數基本法則

1+1=2”是這套郵票的第一枚郵票,這是人類一開始對數量認識的基礎公式。人類的祖先就是從這一公式開始,堆石子,數貝殼、樹枝、竹片,而后刻痕計數,結繩計數等,直至再后來創造文字、數字及計數工具算盤、籌算、計算器等。記數法與十進制的誕生是文明史上的一次飛躍。

2. 勾股定理(畢達哥拉斯定理)

直角三角形的直角邊分別為ab,斜邊為c,則a2b2c2,這就是著名的勾股定理,國外稱之為“畢達哥拉斯定理”。勾股定理的一大影響就是無理數的發現。

3. 阿基米德杠桿原理

第三枚郵票表彰的數學公式是:F1X1F2X2,其中F為作用力,X為力臂,FX即為力矩。只要動力臂足夠長,而阻力臂足夠短,就可以用足夠小的力撬動足夠重的物體。為此,阿基米德曾放言:“給我一個支點,我就能撬動地球。”

4. 納皮爾指數與對數關系公式

對數關系公式即為納皮爾公式,其中e2.71828……對數的發明者是蘇格蘭業余數學家納皮爾男爵。伽利略有過這樣的感慨:“給我時間、空間和對數,我可以創造出一個宇宙來。”

5. 牛頓萬有引力定律

第五枚郵票立即使人聯想到那個早已家喻戶曉的牛頓和蘋果的故事,一個蘋果偶然從樹上掉下來,這卻是人類思想史的一個轉折點,牛頓發現了對人類具有劃時代意義的萬有引力定律。

6. 麥克斯韋電磁方程組

第六個公式是麥克斯韋電磁方程組,麥克斯韋是繼法拉第之后集電磁學大成的偉大物理學家。

7. 愛因斯坦質能關系式

Emc2,這里c為光速,m為質量,E為能量。這就是后來最著名的質能關系式,是制造原子彈的理論基礎。

8. 德布羅意公式

第八枚郵票表彰的公式是1924年德布羅意提出的表達波粒二象性的公式。德布羅意本來是學歷史的,受數學家龐加萊的影響而改學科學,為波動力學的發展提供了重要的理論基礎。

9. 玻爾茲曼公式

1854年德國科學家克勞修斯首先引入熵的概念,1877年,玻爾茲曼給出公式SkLnW。由于觀點新穎,一開始不為許多著名學者接受,玻爾茲曼為之付出了巨大的代價,成為他個人悲劇(自殺)的重要原因。后人把玻爾茲曼公式刻在他的墓碑上,以表彰他的偉大創見。

10. 齊奧爾科夫斯基公式

齊奧爾科夫斯基(前蘇聯)是宇航理論先驅者,他建立了火箭結構特點與飛行速度之間的關系式,即著名的齊奧爾科夫斯基公式。他有一句令人難忘的話語:“地球是人類的搖籃,但是人不能永遠生活在搖籃里。”

歷史和現實都在見證著:十個數學公式改變了世界面貌。絕對是“文明史上的飛躍”“劃時代意義”,世界的進步與發展猶如“撬動地球”“創造出一個宇宙”,未來人類“不能永遠生活在搖籃里”,一定可以走出地球。

有了“最偉大的公式”的民間評選,也有了數學家們推出的“改變世界面貌的十個數學公式”,兩者結果加以比照,發現“最偉大的公式”與“改變世界面貌的十個數學公式”中共同入選的有五個公式,即:

1. 112

2. 勾股定理(畢達哥拉斯定理);

3. 麥克斯韋方程組;

4. 德布羅意方程組;

5. 質能方程。

我們發現五個公式中,麥克斯韋方程組、德布羅意方程組、質能方程三個公式是物理學領域的,狹義的看,數學公式只有兩個:112和勾股定理(畢達哥拉斯定理)。

普通讀者的民意,數學家們的高見,人們可以從浩繁中淘漉出“偉大的公式”和“改變世界面貌的公式”來,這給了我們更多的啟示,回顧十二年的數學學習,想到了四個數學公式,它們是:

1. 112

2. 324252

3. anbncn

4. eiπ10

為什么想到它們四個呢?當我們打開《數學——它的內容,方法和意義》一書時,發現其中有這樣一段發問:[3]

抽象的數學概念反映什么東西?換句話說,數學的現實對象是怎樣的?

為什么抽象的數學結論如此令人確信無疑,而原始的概念又如此顯然?換句話說,數學方法的基礎是什么?

為什么數學盡管如此抽象,卻有最廣泛的應用,而不是空洞的抽象把戲?換句話說,數學的意義從何而來?

最后,什么樣的力量推動數學的發展,使它把抽象性和應用的廣泛性統一起來?換句話說,數學發展過程的內容是什么?

四個問題直指數學的現實對象、數學的發展過程、數學的意義、數學的方法,書中的發問引發了我們的思考:數學是什么?數學為什么?數學怎么樣?數學從哪里來?數學將何處去?除了引經據典洋洋灑灑地闡述外,能否有簡潔明晰的回答方式?能否尋找樸素的元素來表達數學的意蘊?

我們想到了公式,因為公式是數學獨特的“語言”,我們試圖借用112324252anbncneiπ10四個公式,品鑒領悟數學的本質。

品鑒領悟:112

112絕對是數學中最簡單的公式,簡單的背后蘊藏著奇崛與艱辛,正如王安石詩句所云:“看似尋常最奇崛,成如容易卻艱辛。”

從數石子擺小棒到刻痕,由原始之物走向人工記號。從冗長笨拙的羅馬數字到簡明有限的印度數字(阿拉伯數字),由繁瑣龐雜走向簡潔系統。當人們從“一條”“一根”“一片”“一張”“一塊”“一絲”“一組”“一行”“一個”……中抽出“1”的時候,已完成從“量”到“數”的飛躍。“當人們發現一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西(數字2)時,數學就誕生了。”(英國數學家羅素語)所有這一切包含著人類思維艱辛而又漫長的進化。

112到底奇崛在何處?一是數學的抽象,二是數學的創造。這里可借用《數學——它的內容,方法和意義》一書中的話語:[4]

第一,數字符號的作用就在于它們給出了抽象數概念的簡單的具體化身。

第二,數字符號給出了非常簡單地實現各種數字運算的可能性。

如果沒有合適的數字符號就不能將算術推向前進。尤其是如果沒有專門的符號和公式簡直就不可能有現代數學。

現在,我們可以簡單而又武斷的說,沒有112,就沒有數學。 “數學在本質上研究抽象的東西,數學的發展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象,這種抽象了的東西就是數學研究所必須定義的最基本的概念。”[5]

抽象、推理、模型是數學三大基本而又主要的思想,“通過抽象把外部世界引入數學,通過推理促進了數學本身發展。[6]通過模型建立了數學與世界的聯系。

112是數學最早的杰作,堪稱抽象、推理、模型三大數學思想的代表,抽象有了數字:12;推理出現了等式:等于符號;并還建立了聯系世界的最基本的結構:加法。

品鑒領悟:324252

勾股定理是人類早期發現并證明的數學定理,是數形結合思想的典型體現,其中最著名的例子是“勾三股四弦五”(如圖)。從圖中可以看出,直角三角形的內切圓半徑是1,直徑是2。數字12345,如天意一般齊聚在三角形中。

在商高時代古人就已經知道“勾三股四弦五”的關系,中國古代稱短的直角邊為勾,長的直角邊為股,斜邊為弦。據西漢時期算書《周髀算經》記載,約公元前1100年,人們已經知道如果勾是三,股是四,那么弦就是五,即:324252

嚴格意義上講,324252只是一個等式而非公式,是一個個例而不是通項公式,當a2b2c2出現時方能稱其為勾股定理。

第二個公式為何是324252,而不是a2b2c2呢?因為“勾三股四弦五”幾乎是勾股定理的別稱,324252作為勾股定理的最早代表,有著特別的意義。

其一,324252數中有形,不是簡單的測量和測算中的從“數”到“形”(或從“形”到“數”),而是數與形的和諧,是最簡潔最直觀的“數形結合”思想的體現,是研究拓展的開始,從此人類思維聯結了“數量關系”與“空間形式”兩大數學領域。

其二,324252是勾股定理的范例,它已成為人類智慧語言的符號。數學家華羅庚先生曾建議用“勾三股四弦五”圖作為語言發射到宇宙太空,用以尋找茫茫星空中的智慧生命。

起初:古希臘數學家畢達哥拉斯從地磚圖案中得到啟發,發現了勾股定理;后來:西方人希帕索斯根據勾股定理發現了第一個無理數,導致第一次數學危機;現在:勾股定理圖已作為智慧的象征和宇宙的語言。

品鑒領悟:anbncn

324252轉換升級成a2b2c2時,字母替代了數字。字母表示數,標志人類由算術到代數的飛躍,字母的出現有著里程碑式的意義。

324252a2b2c2,誕生了一個數學定理,而當anbncn出現時,誕生了一個世界數學猜想——費馬猜想。費馬猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想被公認為世界三大數學猜想。

費馬猜想是怎么回事呢?

法國數學家費馬在閱讀丟番圖《算術》時,曾在空白處寫有這樣一段話:“將一個立方數分成兩個立方數之和,或一個四次冪分成兩個四次冪之和,或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和,這是不可能的。關于此,我確信已發現了一種美妙的證法,可惜這里空白的地方太小,寫不下。”

費馬斷言當整數n2時,方程anbncn沒有正整數解。由于費馬沒有寫下證明,因而斷言成為了猜想。

如果沒有猜想呢?數學家希爾伯特說:“只要一門科學分支提出大量的問題,它就充滿著生命力,而問題缺乏則預示著獨立發展的終止或衰亡。”沒有猜想就預示著“終止或衰亡”。

數學上的猜想不同于文學上騰云駕霧的神話,猜想的“飛天”之路,不是借助天然的云霧,而會創造出諸如火箭、飛船、空間站式的杰作。猜想的求證過程有著“下金蛋”般的收獲。

三大數學猜想中最早出現的是費馬猜想,它是a2b2c2的直覺激發,猜想引發了許多數學家的興趣,數學家們的工作豐富了數學,推動了數學的發展。猜想歷經三百多年后,最終由英國數學家安德魯•懷爾斯證明時,已是1995年。至此,猜想也改稱費馬大定理。從猜想到定理,數學的發展需要想象,數學的推動離不開證明。“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙地結合在一起,受控制的精神和富有靈感的邏輯正是數學的魅力所在,也是數學教育者努力的方向。”(伊恩•斯圖加特語)

品鑒領悟:eiπ10

歐拉公式eiπ10,自然是數學家歐拉發現的公式,這也是唯一以歐拉命名的公式,數學家們評價它是“上帝創造的公式”,“上帝”在公式中創造了什么呢?

1. 公式中有自然常數e

2. 公式中有圓周率π;

3. 公式中有虛數單位i和自然數單位1

4. 公式中有中心數0

5. 公式中有最基礎的運算符號“+”;

6. 公式中有最重要的關系符號“=”。

我們發現歐拉公式聯系著幾乎所有的數學知識,堪稱世界上“最偉大的數學公式”和“最完美的數學公式”,它是最令人著迷的一個公式,迄今為止,沒有之一。

在這個“上帝創造的公式”中有三個字母,即圓周率π、虛數單位i、自然常數e,它們從哪里來?又有什么意義呢?

圓周率的歷史。

圓周率是一個常數,是圓周長和直徑的比值,其結果是,是一個

公元263年,中國數學家“”計算圓周率,他先從圓內接正六邊形開始,逐次分割,一直算到圓內接正192邊形。其過程與追求正如劉徽自述:割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣。

公元480年左右,南北朝時期的數學家進一步推進研究,圓周率π已精確到小數點后7位,界定在近似值3.14159263.1415927之間,并還給出了兩個近似分數,即圓周率π約率和圓周率π密率

現代人借助計算機已能輕松地得到圓周率小數點后任意多位, “精確”已不是現實的需要。

回顧圓周率的歷史,不只是欣賞圓周率小數點后位數的增多,而是品鑒圓周率在數學上的獨創之處。圓周率的出現,我們從“直”逼近到“曲”,實現了方與圓的溝通,曲與直的轉換。圓周率研究中的“割圓術”,是人類歷史上首次將極限和無窮小引入數學,人類的思維從有限伸展到無限之中。

虛數的創造。

“虛數”這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾首創的,當時的觀念認為這是不存在的數字,后來發現虛數可對應平面上的縱軸,與對應平面上橫軸的實數同樣真實。德國數學家萊布尼茨曾這樣說:“虛數是理想世界的奇異創造,是一個介于存在與不存在之間的兩棲物。” 從數的擴展進程看,虛數不“虛”。藉此說明:數學是“發明”后的“發現”。

虛數如何“發明”?又怎么自然“發現”?對此,我們設計了這樣一個教學片段。

師:同學們,小學的時候,32我們都會,如果23怎么辦?引進了一個什么新數?

生:23=-1,這時我們知道了負數。

師:負數的出現,自然數系擴充為整數系,保證了減法運算的封閉性。

師:同學們,小學的時候,10÷2我們也會,如果10÷3是怎么辦的?這時出現了一個什么新數?

生:10÷25,結果是自然數,10÷3,這時分數出現了。

師:分數的出現,整數系擴充為有理數系,保證了除法運算的封閉性。

師:有理數中,4的開方是2,8的開方是多少呢?你發現了什么?

生:8的開方是2,這時無理數出現了。

師:無理數的出現,保證了開方運算的封閉性,有理數系擴充為實數系。

師:8的開方是2,那-8的開方是多少呢?它好開方嗎?

生:不好開方。

生:負數沒有辦法開方。

師:真的沒有辦法?23時,我們怎么辦的?10÷3時,我們怎么辦的?8的開方,我們怎么辦的?難道-8的開方就沒有辦法?

生:引進一個新數或者是創造出一個數,使它的平方等于-1

師:對,我們曾經引進過負數、分數、無理數,今天我們再引進一個新數。

師:引進一個新數,新數的單位是ii的平方等于-1。那是多少呢?

生:i

師:=?

……

師:我們創造出一個數,稱之為虛數。虛數的出現,保證了負實數開方運算的封閉性,實數系擴充為復數系。

虛數不同于自然數那樣,是從現實世界中抽象出來的,而數學的內部發展與思辨特征自然會出現虛數,這正如恩科斯所說:“當達到理性本身自由創造和想象的產物,這就是——達到虛數。”

教學片段中虛數的引入是在回顧人類數學創造的歷史進程,數學是徹頭徹尾的創造,是在描述世界解釋世界之上的思維創造。

自然常數的意義。

自然常數e,約為2.71828,也是一個無限不循環小數,又一個無理數。圓周率的定義直觀淺顯,是圓周長與直徑的比值,而自然常數e 的大小是怎么得出的呢?

我們來虛擬一個生活場景——如何計算銀行存款利息?

假如本金是1元,銀行一年復利一次,年利率為100%,一年后的本息之和為:

1×(1100%)12(元)

如果銀行一年復利2次,年利率為100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/2)22.25(元)

如果銀行一年復利4次,年利率為100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/4)42.44140625(元)

如果銀行一年復利12次,年利率為100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/12)122.61303529(元)

我們發現,復利次數越多,一年之后的收益越高。如果復利次數越來越多,每天都在復利,那一年后的本息會無限增大嗎?

如果銀行一年復利365次,年利率為100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/365)3652.71456748(元)

如果銀行一年復利31536000次(每秒付利息),年利率為100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/31536000)315360002.7182817813(元)

發現隨著復利次數的增加,收益的增加在逐漸變緩。似乎心有不甘,折騰到現在,利息增加寥寥無幾,難道沒有突破嗎?復利次數從有限走到無限,再試試。

如果銀行一年復利無數次,年利率為100%,一年后的本息之和是:

1×(1+100%/)

1×(1+)

(1+)

這就是年利率為100%1元存款,當復利的次數趨于無窮時,本息之和的最大值。這個最大值是多少呢?是一個無限不循環小數,約為2.7182817813元。

虛擬場景中,即便窮其一生,無限復利,所得本息也不過如此,始終不會突破一個數(比如,2.72)。回到現實,我們把這個追逐利息的結果轉述成一段數學語言:當n趨向無窮時,表達式(1n有一個極限值,我們把這個極限值稱之為自然常數,用字母e表示。

自然常數e

 

至此,我們通過利息的計算找到了數學中e的“生活原型”,知道它是一個常數。那為什么稱之為“自然常數”呢?它似乎并不見于日常,又“自然”在哪里呢?

回顧歷史,我們的祖先起初認為世界是由天神上帝主宰的,隨著思想的進化進步,慢慢地“自然”取代了“神靈”的位置,原來一切都是源于自然、道法自然。

在數學的發展史上,像123這樣的數是用來描述日常事物數量的,顯得非常“自然”,于是稱其為“自然數”。這是一種非常樸素的自然觀,但這種樸素的自然觀也影響了人們的認識,以至于發現時,認為不可理喻,簡直是無理,于是出現了“無理數”的名稱。現在我們知道,其實無理數并非“無理”,它也是“自然”的。

分數、負數、無理數、虛數,它們都是來自于“自然”——現實的自然或數學發展的自然,只是人類認識的局限與表述的需要,冠之它們以不同的名稱。當常數e成為數學家庭成員時,人們的認識已超越歷史的羈絆,直接稱之為“自然常數”。

自然常數e有什么意義呢?

其實自然常數e在自然科學中的應用并不亞于圓周率π。小到儲蓄計算、生物繁殖,大到衰變規律、地球年齡測算等等,都離不開自然常數。特別是前文提到的“改變世界面貌的十個數學公式”中的齊奧爾科夫斯基公式,在計算火箭速度時必然要用到自然常數。

到此為止,了解了圓周率的歷史,感受了虛數的創造,明晰了自然常數的意義。我們不去深究歐拉公式eiπ10的推演證明,重在領悟數學研究、發展、創造的意蘊。

數學經歷了萌芽時期、常量時期、變量時期、現代數學時期,未來數學是什么呢?數學發展的趨勢與動力是什么呢?

《數學文化概論》中有這樣一段話:[7]

其一,數學更加追求自由的思維創造;其二,對數學自身構造和基礎的關心;其三,數學的實踐應用成為數學的一種重要的內在動力。

這段話啟示我們:數學需要自由創造;數學需要構造基礎;數學需要應用實踐。

行文至此,發現這四個公式包含著:抽象、推理、模型;數與形;悖論和危機;有限與無限;直覺和想象;猜想及證明;生活、世界、宇宙。

品鑒領悟四個公式,它們有著不同的喻示:112,喻示著數學是真實的,數學是簡潔的;324252,喻示著數學是聯通的,數學是和諧的;anbncn,喻示著數學是自由的,數學是理性的;eiπ10,喻示著數學是思辨的,數學是創造的。

數學是美的,美在簡潔,美在和諧。數學是理性的,在理性中思辨,在思辨中創造。數學是一種發明,是“發明”后的“發現”,也是“發現”中的“發明”。



[1] 陳士文,《字紙簍中的“智慧數學”》,江蘇教育出版社,2013年,第14頁。

[2]  寧正新,《思辨數學真諦》,中央編譯出版社,2010年,第129頁,有刪節修改。

[3] 亞歷山大洛夫等,《數學——它的內容,方法和意義》,科學出版社,2001年,第6頁。

[4] 亞歷山大洛夫等,《數學——它的內容,方法和意義》,科學出版社,2001年,第11頁。

[5] 史寧中,《數學思想概論》第2輯,東北師范大學出版社,2009年,第184頁。

[6] 史寧中,《數學思想概論》第3輯,東北師范大學出版社,2009年,第1頁。

[7] 王憲昌、劉鵬飛、耿鑫彪,《數學文化概論》,科學出版社,2010年,第147頁。

   
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